圏論・層論およびGrothendieck位相における超限帰納法と超限構成の理論と応用

(1 $\implies$ 2) は単射的対象の定義から明らかである。

(2 $\implies$ 1) を示す。任意のモノ射 $i : A \hookrightarrow B$ と射 $f : A \to E$ が与えられたとする。対 $(A', f')$ の集合 $\mathcal{P}$ を、$A \subset A' \subset B$ なる部分対象 $A'$ と $f$ の延長 $f' : A' \to E$ の組全体とする。$\mathcal{P}$ に包含関係による半順序を定めると、Zornの補題により極大元 $(M, g)$ が存在する。

$M = B$ であることを背理法で示す。仮に $M \subsetneq B$ とすると、$M$ に含まれない $B$ の要素に対応して、ある射 $h : G \to B$ であってその像が $M$ に含まれないものが存在する（$G$ が生成子であるため）。

引き戻し（pullback）図式を構成する：

$$ \begin{array}{ccc} U & \hookrightarrow & G \\ \downarrow & & \downarrow{\scriptstyle h} \\ M & \hookrightarrow & B \end{array} $$

ここで $U = h^{-1}(M) \hookrightarrow G$ は $G$ の部分対象である。引き戻しの性質により、合成 $U \to M \xrightarrow{g} E$ が定義される。仮定 (2) より、この射は $\tilde{g} : G \to E$ に延長される。

押し出し（pushout）図式を用いて $M' = M + h(G) \subset B$ 上の射 $g' : M' \to E$ を定義すると、これは $g$ の厳密な延長となり $(M, g)$ の極大性に矛盾する。したがって $M = B$ であり、$E$ は単射的である。

ステップ 1：正則基数の選定
$\mathcal{A}$ の生成子を $G$ とする。$G$ の部分対象全体の集合 $\mathcal{S}(G)$ の濃度を $|\mathcal{S}(G)|$ とする。基数 $|\mathcal{S}(G)|$ よりも厳密に大きい正則共終数（regular cofinality）をもつ正則無限基数 $\kappa$ を一つ固定する（例えば $\kappa = |\mathcal{S}(G)|^+$）。

ステップ 2：超限押し出し列 $(M_\alpha)_{\alpha \le \kappa}$ の超限帰納的構成
与えられた任意の対象 $M \in \mathcal{A}$ に対して、順序数 $\alpha \le \kappa$ に関する超限帰納法により対象の超限列 $(M_\alpha)_{\alpha \le \kappa}$ およびモノ射の族 $(j_{\alpha, \beta} : M_\alpha \hookrightarrow M_\beta)_{\alpha \le \beta}$ を構成する。

• 基底段階 ($\alpha = 0$)： $$ M_0 = M $$ とする。
• 後続順序数段階 ($\alpha \to \alpha + 1$)： $M_\alpha$ が構成されているとする。集合 $S_\alpha$ を、$G$ の部分対象 $U \hookrightarrow G$ と射 $f : U \to M_\alpha$ の組 $s = (U, f)$ 全体の集合とする： $$ S_\alpha = \{ (U, f) \mid U \in \mathcal{S}(G), \, f \in \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(U, M_\alpha) \} $$ 直和対象 $\bigoplus_{s \in S_\alpha} U$ および $\bigoplus_{s \in S_\alpha} G$ を考え、包含射の直和 $\bigoplus_{s} i_s : \bigoplus_{s} U \hookrightarrow \bigoplus_{s} G$ と、射の和 $\sum_s f_s : \bigoplus_{s} U \to M_\alpha$ による押し出し（pushout）図式を形成する： $$ \begin{array}{ccc} \bigoplus_{s \in S_\alpha} U & \xrightarrow{\ \bigoplus i_s\ } & \bigoplus_{s \in S_\alpha} G \\ \downarrow{\scriptstyle \sum f_s} & & \downarrow \\ M_\alpha & \xrightarrow{\ j_{\alpha, \alpha+1}\ } & M_{\alpha+1} \end{array} $$ アーベル圏において、モノ射の直和はモノ射であり（AB5条件による）、モノ射の押し出しによる引き戻し・押し出し像も再びモノ射となる。したがって、構造射 $j_{\alpha, \alpha+1} : M_\alpha \hookrightarrow M_{\alpha+1}$ はモノ射である。
• 極限順序数段階 ($\gamma \le \kappa$ が極限順序数の場合)： $\gamma$ 未満のすべての $\alpha < \gamma$ に対する有向余極限として $M_\gamma$ を定義する： $$ M_\gamma = \varinjlim_{\alpha < \gamma} M_\alpha $$ AB5 条件により、有向余極限は完全であるため、各標準射 $j_{\alpha, \gamma} : M_\alpha \to M_\gamma$ もすべてモノ射である。

ステップ 3：極限対象 $M_\kappa$ の単射性の検証
構成された超限列の極端元 $M_\kappa = \varinjlim_{\alpha < \kappa} M_\alpha$ が Baer の判定法（補題 2.6）を満たすことを示す。

$G$ の任意の部分対象 $U \hookrightarrow G$ および任意の射 $g : U \to M_\kappa$ をとる。 $G$（したがってその部分対象 $U$）は小生成子に起因して $\kappa$-小対象的性質をもつ。具体的には、$\kappa > |\mathcal{S}(G)|$ かつ $\kappa$ が正則基数であることから、任意の射 $g : U \to M_\kappa = \varinjlim_{\alpha < \kappa} M_\alpha$ の像は、ある $\alpha_0 < \kappa$ における $M_{\alpha_0}$ へ分解（factor）する。すなわち、ある射 $g_0 : U \to M_{\alpha_0}$ が存在して $$ g = j_{\alpha_0, \kappa} \circ g_0 $$ と表される。

この組 $s = (U, g_0)$ は後続段階 $\alpha_0 + 1$ の構成における集合 $S_{\alpha_0}$ の元である。押し出し図式の可換性より、射 $g_0 : U \to M_{\alpha_0}$ は $M_{\alpha_0+1}$ への合成射において $G$ からの射 $h : G \to M_{\alpha_0+1}$ へと延長される： $$ h \circ i_U = j_{\alpha_0, \alpha_0+1} \circ g_0 $$ この射 $h$ とモノ射 $j_{\alpha_0+1, \kappa} : M_{\alpha_0+1} \hookrightarrow M_\kappa$ を合成して得られる射 $$ \tilde{g} = j_{\alpha_0+1, \kappa} \circ h : G \to M_\kappa $$ を考えると、 $$ \tilde{g} \circ i_U = j_{\alpha_0+1, \kappa} \circ h \circ i_U = j_{\alpha_0+1, \kappa} \circ j_{\alpha_0, \alpha_0+1} \circ g_0 = j_{\alpha_0, \kappa} \circ g_0 = g $$ となり、$\tilde{g}$ は $g$ の $G$ 全体への延長である。

補題 2.6（Baer の判定法）により、$M_\kappa$ は単射的対象である。また基底射 $M = M_0 \hookrightarrow M_\kappa$ はモノ射の合成（および有向余極限）としてモノ射である。したがって $\mathcal{A}$ は十分に単射的な対象を持つ。

超限順序数 $\alpha \le \kappa$ について対象 $Z_\alpha$ と射 $p_{\alpha, \beta} : Z_\alpha \to Z_\beta$ ($\alpha \le \beta$) および $q_\alpha : Z_\alpha \to Y$ を超限帰納法により構成する。

• 初期段階 ($\alpha = 0$)： $Z_0 = X$ とおき、$q_0 = f$ とする。
• 後続段階 ($\alpha \to \alpha + 1$)： $Z_\alpha$ および $q_\alpha : Z_\alpha \to Y$ が構成されているとする。集合 $S_\alpha$ を、射 $i : A \to B \in I$ および可換正方形をなす対 $(u, v)$（ただし $u : A \to Z_\alpha$, $v : B \to Y$ であり $q_\alpha \circ u = v \circ i$）全体の集合とする。 $Z_{\alpha+1}$ を以下の押し出しにより定義する： $$ \begin{array}{ccc} \bigoplus_{(i, u, v) \in S_\alpha} A & \xrightarrow{\ \bigoplus i\ } & \bigoplus_{(i, u, v) \in S_\alpha} B \\ \downarrow{\scriptstyle \bigoplus u} & & \downarrow \\ Z_\alpha & \xrightarrow{\ p_{\alpha, \alpha+1}\ } & Z_{\alpha+1} \end{array} $$ 押し出しの普遍性により、射 $q_{\alpha+1} : Z_{\alpha+1} \to Y$ であって $q_{\alpha+1} \circ p_{\alpha, \alpha+1} = q_\alpha$ かつ各 $(i, u, v) \in S_\alpha$ に対して右側の因子からの像が $v$ と一致するものが一意に存在する。
• 極限段階 ($\gamma \le \kappa$ が極限順序数の場合)： $Z_\gamma = \varinjlim_{\alpha < \gamma} Z_\alpha$ と定め、$q_\gamma : Z_\gamma \to Y$ を余極限の普遍性から誘導する。

$Z = Z_\kappa$ とおき、$p = p_{0, \kappa} : X \to Z$, $q = q_\kappa : Z \to Y$ と定める。構築により $f = q \circ p$ であり、$p$ は $I$ の射の押し出しの超限合成である。

$q \in I^\perp$ であることを示す。任意の $i : A \to B \in I$ と可換正方形

$$ \begin{array}{ccc} A & \xrightarrow{\ u\ } & Z_\kappa \\ \downarrow{\scriptstyle i} & & \downarrow{\scriptstyle q} \\ B & \xrightarrow{\ v\ } & Y \end{array} $$

を考える。仮定より $A$ は $\kappa$-小対象であるから、射 $u : A \to Z_\kappa = \varinjlim_{\alpha < \kappa} Z_\alpha$ はある $\alpha < \kappa$ に対する射 $u_\alpha : A \to Z_\alpha$ を経由する。 正方形の可換性より、$q_\alpha \circ u_\alpha = v \circ i$ とみなしてよい。 すると、三つ組 $(i, u_\alpha, v)$ は $S_\alpha$ の元となる。 $Z_{\alpha+1}$ の押し出しの構成により、射 $h_{\alpha+1} : B \to Z_{\alpha+1}$ が存在して、$h_{\alpha+1} \circ i = p_{\alpha, \alpha+1} \circ u_\alpha$ かつ $q_{\alpha+1} \circ h_{\alpha+1} = v$ を満たす。 この $h_{\alpha+1}$ と標準的射 $p_{\alpha+1, \kappa} : Z_{\alpha+1} \to Z_\kappa$ を合成して得られる射 $h = p_{\alpha+1, \kappa} \circ h_{\alpha+1} : B \to Z_\kappa$ をとると、 $$ h \circ i = u \quad \text{かつ} \quad q \circ h = v $$ が成り立つ。したがって $q \in I^\perp$ が証明された。

各対象 $X \in \mathcal{C}$ に対する被覆ふるい $S \in J(X)$ の全体の集合を $J_{\mathrm{all}} = \bigcup_{X \in \mathcal{C}} J(X)$ とする。$\kappa$ を $J_{\mathrm{all}}$ の任意の元の要素数および $J(X)$ の濃度より真に大きい正則基数とする。

超限列 $(F^{(\alpha)})_{\alpha \le \kappa}$ は正準射 $\eta_{F^{(\alpha)}} : F^{(\alpha)} \to F^{(\alpha+1)}$ による余極限系をなす。 $\kappa$ が十分大きいことから、任意の $X \in \mathcal{C}$ および任意の $S \in J(X)$ について、関手 $\mathrm{Hom}_{\mathrm{PSh}(\mathcal{C})}(S, -)$ は $\kappa$-有向余極限と可換になる。すなわち、 $$ \mathrm{Hom}_{\mathrm{PSh}(\mathcal{C})}\left( S, \varinjlim_{\alpha < \kappa} F^{(\alpha)} \right) \cong \varinjlim_{\alpha < \kappa} \mathrm{Hom}_{\mathrm{PSh}(\mathcal{C})}(S, F^{(\alpha)}) $$ が成立する。したがって、

$$ \mathrm{Hom}_{\mathrm{PSh}(\mathcal{C})}(S, F^{(\kappa)}) \cong \varinjlim_{\alpha < \kappa} \mathrm{Hom}_{\mathrm{PSh}(\mathcal{C})}(S, F^{(\alpha)}) $$ $$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cong \varinjlim_{\alpha < \kappa} (F^{(\alpha)})^+(X) $$ $$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cong \varinjlim_{\alpha < \kappa} F^{(\alpha+1)}(X) \cong F^{(\kappa)}(X) \cong \mathrm{Hom}_{\mathrm{PSh}(\mathcal{C})}(y(X), F^{(\kappa)}) $$

が成り立つ。これは $F^{(\kappa)}$ が $J$ に関する層の定義条件を満たすことを意味する。 また、各段階での射 $F \to F^{(\kappa)}$ が普遍性を満たすことは、層 $G$ に対する $\mathrm{Hom}_{\mathrm{PSh}(\mathcal{C})}(F^{(\alpha)}, G) \cong \mathrm{Hom}_{\mathrm{PSh}(\mathcal{C})}(F, G)$ を超限帰納法で示すことにより従う。

Freyd の随伴関手定理により、小極限を保存する関手 $G : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ が左随伴を持つためには、任意の $D \in \mathcal{D}$ に対して解集合条件 (solution set condition) が満たされることを示せば十分である。

$D \in \mathcal{D}$ を固定する。各 $K_0 \in K$ に対し、$\mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(D, G(K_0))$ は小集合である。積対象 $$ P = \prod_{K_0 \in K} \prod_{\sigma \in \mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(D, G(K_0))} K_0 $$ を考える。$K$ は小集合であり、各 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(D, G(K_0))$ も小集合であるため、この積は小積であり、$\mathcal{C}$ の小完備性から $P \in \mathcal{C}$ が存在する。 $\mathcal{C}$ は余well-poweredであるため、$P$ の商対象全体の代表系を $S_D = \mathcal{Q}(P)$ とおくと、$S_D$ は小集合である。

$S_D$ が解集合条件を満たすことを示す。任意の $C \in \mathcal{C}$ および射 $f : D \to G(C)$ をとる。 各 $K_0 \in K$ と $h \in \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(C, K_0)$ に対し、$G(h) \circ f \in \mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(D, G(K_0))$ である。 積の普遍性により、射 $e : C \to P$ であって、$(K_0, G(h) \circ f)$ 成分への射影 $\pi_{K_0, G(h) \circ f} : P \to K_0$ との合成が $\pi_{K_0, G(h) \circ f} \circ e = h$ となるものが一意に存在する。

$\mathcal{C}$ は小完備かつ余well-poweredであるため、任意の射はエピ射とモノ射の合成に分解できる。$e$ のエピ・モノ分解を $$ C \xrightarrow{\ p\ } Q \xrightarrow{\ m\ } P $$ （$p$ はエピ射、$m$ はモノ射）とする。$Q$ は $P$ の商対象であるから、$Q \in S_D$ である。

普遍射 $d : D \to G(P)$ を、各成分 $(K_0, \sigma)$ への射影の $G$ による像 $G(\pi_{K_0, \sigma}) : G(P) \to G(K_0)$ との合成が $\sigma : D \to G(K_0)$ に一致する唯一の射として定める。 $K$ が余生成子集合であることと $G$ が等化子および小積を保存することから、$f : D \to G(C)$ は $G(p) : G(C) \to G(Q)$ を経由して $Q \in S_D$ への射に分解する。 したがって、小集合 $S_D$ は解集合条件を満たし、$G$ は左随伴関手 $F$ を持つ。

上記で提示した Freyd による特殊随伴関手定理（SAFT）の標準的な証明は、小積と商対象の極大束を用いて解集合条件の存在を抽象的に示す「非構成的」なアプローチを採用している。しかし、実際の応用において、この抽象的な定理が保証する「左随伴関手 $F(D)$」を実際に構成するプロセスは、本質的に超限帰納法 (transfinite induction) と深く結びついている。

具体的に言えば、随伴関手の構成は代数系における「自由生成」や「関係式による商」の構成と同義である。対象 $D \in \mathcal{D}$ から $F(D) \in \mathcal{C}$ を構築する場合、代数的な操作（演算を施す操作）と関係式を同一視する操作を無限に繰り返さなければならない。通常の有限代数系であればこの構成は可算無限回（$\omega$ ステップ）の帰納法で終了する。しかし、一般の圏においては極限操作などが関与するため、$\omega$ 回では構成が閉じない。そこで、超限帰納法に基づく G. M. Kelly の超限構成的アプローチが必要となる。

超限帰納法を用いた構成的アプローチでは、以下のように左随伴関手を段階的に構築する：

• $\alpha = 0$： 生成子となる初期対象 $X_0$ を設定する。
• 後続順序数 $\alpha+1$： 前段階 $X_\alpha$ において未処理の「関係式」や「生成元の演算」を解消するため、余等化子（coequalizer）や押し出し（pushout）などの余極限操作を用いて新しい対象 $X_{\alpha+1}$ を構築し、構造を拡大・制約する。
• 極限順序数 $\gamma$： それまでの構成の有向余極限 $X_\gamma = \varinjlim_{\alpha < \gamma} X_\alpha$ を計算する。

SAFTにおいて要求される「$\mathcal{C}$ が余well-poweredである」という条件は、まさにこの「超限帰納法による関係式の添加と商対象の生成プロセスが、ある十分大きな正則基数 $\kappa$ に到達した段階で必ず停止（収束）する」ことを保証するためのサイズ制約条件に他ならない。すなわち、非構成的に見えるSAFTの商対象の束の議論は、動的な視点からは「超限帰納法による対象の漸近的構成」と同値であり、超限構成定理の存在証明を静的な集合論的枠組みに翻訳したものと解釈することができるのである。

$W$ は小集合であり、各射 $w : A_w \to B_w \in W$ の始域 $A_w$ および終域 $B_w$ は、ある正則基数 $\lambda$ に対して $\lambda$-可提示であるとしてよい（$\mathcal{C}$ は局所可提示であるため、十分大きな $\lambda$ をとれる）。

局所化関手 $L_W(X)$ を構成するために、小対象論法（定理 3.4）の類似の超限帰納法を用いる。

• 基底段階 ($\alpha = 0$)： 対象 $X$ に対し $X_0 = X$ とする。
• 後続段階 ($\alpha \to \alpha + 1$)： $X_\alpha$ に対して、すべての $w : A_w \to B_w \in W$ とすべての射 $f : A_w \to X_\alpha$ からなる組 $(w, f)$ を考える。以下の押し出し図式により $X_{\alpha+1}$ を定義する： $$ \begin{array}{ccc} \bigoplus_{(w, f)} A_w & \xrightarrow{\ \bigoplus w\ } & \bigoplus_{(w, f)} B_w \\ \downarrow{\scriptstyle \bigoplus f} & & \downarrow \\ X_\alpha & \longrightarrow & X_{\alpha+1} \end{array} $$ これにより、集合 $W$ のすべての射からの図式に対して、拡張の存在が「1ステップだけ」保証される。ただし、押し出した結果として新たな「満たされない図式」が生じる可能性がある。
• 極限段階 ($\gamma$ は極限順序数)： $X_\gamma = \varinjlim_{\beta < \gamma} X_\beta$ とする。

この超限反復を正則基数 $\lambda$ まで続ける。最終的に $X_\lambda = \varinjlim_{\alpha < \lambda} X_\alpha$ を得る。 各 $A_w, B_w$ が $\lambda$-可提示であるため、任意の射 $A_w \to X_\lambda$ はある段階 $\alpha < \lambda$ での射 $A_w \to X_\alpha$ を経由する。その射は $\alpha+1$ 段階の押し出しにより $B_w \to X_{\alpha+1} \to X_\lambda$ へと拡張される。 この議論と等化子の直交性を確保するためのさらなるステップ（または $W$ にあらかじめ余等化子的な図式を含める工夫）により、$X_\lambda$ に対し写像 $s^*$ が全射のみならず全単射（直交性）となるまで超限構成をさらに反復する（Bousfield 局所化の構成）。結果として得られる極限対象を $L_W(X)$ とすれば、これが反射関手を与える。